19-11-2015, 17:07
(Ten post był ostatnio modyfikowany: 19-11-2015, 19:08 przez Mordoklapow.)
a ∈ A to znaczy to, że zbiór a zawiera element a, ale nie całe a chyba, że a jest zbiorem zawierającym tylko jedną liczbę.
Dokładnie. Jako ciekawostkę mogę dodać, że zbiór zawierający jeden element nazywamy singletonem.
b ⊂ B znaczy, że zbiór B MUSI zawierać w sobie całe b, ale oprócz tego mogą się w nim znajdować również inne liczby.
Tak. Gdyby nie znajdowałyby się w nim inne elementy niż te które są w b, to byłaby to równość zbiorów, i moglibyśmy zapisać b = B.
Jeśli napiszę: B ⊂ c: <0, to znaczy, to, że wszystkie liczby zbioru B są mniejsze od 0, gdyż cały B zawiera się w c, którego liczby spełniają warunek bycia mniejszymi od zera.
Akurat ten zapis jest niejednoznaczny, w takim sensie, że nie powinno się dla zbiorów stosować oznaczeń używanych do pojedynczych elementów. Tutaj poprawny byłby zapis B ⊂ c = { g ∈ ???, g < 0}. Akurat przykład jest trochę kłopotliwy, gdyż nie w każdym zbiorze da się elegancko stworzyć relację "<", a nie uściśliłeś czym są elementy c. Jednak sądzę, że chodziło ci o liczby rzeczywiste, tak więc wtedy zapis wyglądałby tak: (wybacz za brzydkie oznaczenie liczb rzeczywistych jako IR)
B ⊂ c = { g ∈ IR, g < 0}
Ogółem pamiętaj, że jeżeli tworzysz warunek dla zbioru c, to musisz skądś brać jego elementy. Potrzebny ci jest jakiś większy zbiór, by JEGO elementy mogły spełniać twój warunek (w tym wypadku <0).
Tak więc reasumując, w tym zapisie nie powiedziałeś czym dokładnie są elementy tych zbiorów. Gdyby to były np. funkcje albo wektory, to mówienie o < byłoby... raczej niepoprawne, bowiem dla tych elementów taka relacja zazwyczaj nie istnieje.
Ogółem może to się na pierwszy rzut oka wydawać dziwne i zbyt pokomplikowane, ale jak będziemy rozpatrywali przestrzenie których elementy nie są liczbami, to będzie przydatne. Co więcej, będziemy nierzadko używali jednocześnie różnych zbiorów, których elementy będą zupełnie innymi obiektami. Wtedy taki luźny zapis jak Twój, byłby mocno mylący, w szczególności że czasem jest naprawdę nieoczywiste, czy coś jest skalarem, wektorem czy może tensorem, albo nawet funkcjonałem liniowym. W takim wypadku jasny zapis np. h ∈ V⊗W może być prawdziwą manną z nieba.
Możliwe, że niedługo sam się o tym przekonasz.
Jeśli napiszę: ∀ a: >0 ∃ a + 1 to znaczy to: dla każdej liczby a większej od 0 istnieje liczba o jeden większa.
Tak. Chociaż ładniej byłoby napisać ∀ a>0 ∃b : b = a + 1. Mówiąc ładnie, jest to warunek domknięcia struktury algebraicznej ze względu na dodawanie jedynki. Jak ja lubię być przemądrzały.
:
@Zena, to i tak lepiej niż większość społeczeństwa. Poza tym, akurat będzie okazja by to trochę zmienić. O metryce napiszę, to nie jest nic trudnego.
Dokładnie. Jako ciekawostkę mogę dodać, że zbiór zawierający jeden element nazywamy singletonem.
b ⊂ B znaczy, że zbiór B MUSI zawierać w sobie całe b, ale oprócz tego mogą się w nim znajdować również inne liczby.
Tak. Gdyby nie znajdowałyby się w nim inne elementy niż te które są w b, to byłaby to równość zbiorów, i moglibyśmy zapisać b = B.
Jeśli napiszę: B ⊂ c: <0, to znaczy, to, że wszystkie liczby zbioru B są mniejsze od 0, gdyż cały B zawiera się w c, którego liczby spełniają warunek bycia mniejszymi od zera.
Akurat ten zapis jest niejednoznaczny, w takim sensie, że nie powinno się dla zbiorów stosować oznaczeń używanych do pojedynczych elementów. Tutaj poprawny byłby zapis B ⊂ c = { g ∈ ???, g < 0}. Akurat przykład jest trochę kłopotliwy, gdyż nie w każdym zbiorze da się elegancko stworzyć relację "<", a nie uściśliłeś czym są elementy c. Jednak sądzę, że chodziło ci o liczby rzeczywiste, tak więc wtedy zapis wyglądałby tak: (wybacz za brzydkie oznaczenie liczb rzeczywistych jako IR)
B ⊂ c = { g ∈ IR, g < 0}
Ogółem pamiętaj, że jeżeli tworzysz warunek dla zbioru c, to musisz skądś brać jego elementy. Potrzebny ci jest jakiś większy zbiór, by JEGO elementy mogły spełniać twój warunek (w tym wypadku <0).
Tak więc reasumując, w tym zapisie nie powiedziałeś czym dokładnie są elementy tych zbiorów. Gdyby to były np. funkcje albo wektory, to mówienie o < byłoby... raczej niepoprawne, bowiem dla tych elementów taka relacja zazwyczaj nie istnieje.
Ogółem może to się na pierwszy rzut oka wydawać dziwne i zbyt pokomplikowane, ale jak będziemy rozpatrywali przestrzenie których elementy nie są liczbami, to będzie przydatne. Co więcej, będziemy nierzadko używali jednocześnie różnych zbiorów, których elementy będą zupełnie innymi obiektami. Wtedy taki luźny zapis jak Twój, byłby mocno mylący, w szczególności że czasem jest naprawdę nieoczywiste, czy coś jest skalarem, wektorem czy może tensorem, albo nawet funkcjonałem liniowym. W takim wypadku jasny zapis np. h ∈ V⊗W może być prawdziwą manną z nieba.
Możliwe, że niedługo sam się o tym przekonasz.
Jeśli napiszę: ∀ a: >0 ∃ a + 1 to znaczy to: dla każdej liczby a większej od 0 istnieje liczba o jeden większa.
Tak. Chociaż ładniej byłoby napisać ∀ a>0 ∃b : b = a + 1. Mówiąc ładnie, jest to warunek domknięcia struktury algebraicznej ze względu na dodawanie jedynki. Jak ja lubię być przemądrzały.
:@Zena, to i tak lepiej niż większość społeczeństwa. Poza tym, akurat będzie okazja by to trochę zmienić. O metryce napiszę, to nie jest nic trudnego.