Matematyka!

[Mordoklapow]

Kwantyfikatory i inne dziwne skróty matematyczne:


Generalnie matematycy to leniwe buły. Nie lubią marnować czasu na powtarzanie wyrażeń typu "dla każdego elementu n należącego do zbioru K istnieje taka liczba rzeczywista e większa od zera, że dla każdego m należącego do zbioru K i  mniejszego niż n...". Wolą go poświęcić na np. pisanie książek o tematyce chrześcijańsko-mistycznej, graniu na bębenkach czy przeszukiwaniu alfabetów prastarych języków w celu znalezienia jakiegoś jeszcze niewykorzystanego symbolu.

Tak więc, pomysłowi panowie matematycy stworzyli pewne skróty, których nagminnie używają i bez których podręczniki od matmy byłyby dwa razy dłuższe. Są one bardzo wygodne - pod warunkiem że się do nich człowiek przyzwyczai. Dlatego więc warto zacząć ich używać jak najszybciej. Są do tego stopnia wygodne, że używam ich nawet w tekście stricte pisanym, podczas pisania notatek z przedmiotów bardziej humanistycznych.

Podstawowe symbole, jak =, <, > pewnie już znacie, więc przejdziemy do tych ciekawszych. Które też pewnie spora część z was zna bardzo dobrze. Co więcej, jak ktoś ogarnia matmę wyższą, to wystarczy że przeczyta ostatnie zdania. Ogarnięcie matmy wyższej bez znajomości rzeczy w spoilerach jest niemożliwe.

Zbiory:

Spoiler

Podstawowe zbiory:

ℕ - zbiór liczb naturalnych, czyli zbiór wszystkich liczb, które można otrzymać dodając odpowiednią ilość razy liczbę 1.
ℤ- Zbiór liczb całkowitych, czyli zbiór liczb naturalnych połączony ze zbiorem liczb przeciwnych do naturalnych i liczbą 0.
ℚ - Zbiór liczb wymiernych, czyli zbiór liczb które można zapisać jako ułamek prosty liczb całkowitych.
ℝ - zbiór liczb rzeczywistych, czyli zbiór wszystkich liczb na osi liczbowej. W sumie lepszą definicją jest domknięcie Q, ale tłumaczenie czym jest domknięcie zbioru zostawimy sobie na później.

Warto zauważyć, że oznaczenie używane w szkolnictwie wyższym (czyli te które ja podałem) są inne niż te, których uczą w szkołach. Jest tak ponieważ... cóż, nie wiem dlaczego. Pewnie jakiś human z ministerstwa miał kompleksy, że nazwy pochodzą głównie z języka angielskiego a nie z polskiego, więc postanowić zmienić je na bardziej "polskie". Wprowadza to oczywiście bardzo dużo zamieszania i mam szczerą nadzieję że niedługo zostanie to zmienione. Np. w liceach liczby całkowite zaznacza się literką ℂ, podczas gdy w każdym innym cywilizowanym kraju ℂ oznacza liczby zespolone (od ang. Complex numbers).

Zawieranie, Są dwa rodzaje zawierania, mianowicie:
1) Zbiór A zawiera element a.
a ∈ A

2) Zbiór A zawiera zbiór a.
a ⊂ A

Są to dwa różne, czasem mylone oznaczenia, toteż spróbuję wytłumaczyć elementarną różnicę między nimi. W pierwszym przypadku a jest elementem zbioru A. Np. jak 1 jest elementem zbioru {0, 1, 6, 4, 3}, a 2 nie jest elementem tego zbioru.

W drugim a też jest pewnym zbiorem (NIE JEST ELEMENTEM) tyle że tutaj każdy element należący do a, też należy do A. Np:
zbiór a = {1, 2} jest podzbiorem zbioru A =  {0, 3, 4, 2, 9, 1} (tzn, że A zawiera a)
zbiór a = {1, 7} nie jest podzbiorem zbioru A = {0, 3, 4, 2, 9, 1} (tzn, że A nie zawiera a)
zbiór a= {1} jest podzbiorem zbioru A = { 9, 1, 2, 8} W tym wypadku a jest zbiorem jednoelementowym. Wcale nam to nie przeszkadza i A w tym wypadku zawiera a.

Jak już wyżej było pokazane, zbiory zazwyczaj są oznaczane przy pomocy tzw. klamerek, czyli symboli "{" i "}". Ponieważ wypisanie wprost (element po elemencie) niektórych zbiorów, w szczególności tych nieskończonych, bywa kłopotliwe, wprowadzono pewien całkiem wygodny zapis:
B={x∈C : warunek}
Gdzie w miejsce słowa "warunek" pisze się... cóż, warunek który mają spełniać wszystkie elementy podzbioru C. Tak więc czytając "na głos" zbiór C to zbiór wszystkich elementów zbioru B, który spełnia warunek "warunek".
Dla przykładu możemy wziąć zbiór wszystkich liczb naturalnych mniejszych niż 5:
G={g∈ℕ : g<5}
Lub opisać zbiór liczb naturalnych, jako zbiór liczb całkowitych większych od zera:
ℕ={q∈ℤ : q>0}

Jest to często używana notacja, więc dobrze jest ją opanować.

Teraz inna ważna rzecz, czyli kwantyfikatory.

Spoiler

Są to takie skróty. W sumie mają głębszy sens logiczny, ale chwilowo nie będziemy się nim przejmować.
Generalnie mamy dwa najważniejsze:
∀ oznaczający "dla każdego"
∃ oznaczający "istnieje"
Odczytanie takich symboli polega na zamienieniu ich na ich słowne znaczenia. Wszystko powinno nabrać sensu wraz z przykładami.

∀x∈W ∃y∈W taki, że x*y=1.
Odczytamy jako " dla każdego x należącego do W istnieje taki y należący do W, że spełnione jest równanie x*y=1"

∀x∈X, y∈X   d(x,y)>0
Odczytamy jako "Dla każdych x i y należących do X, funkcja d zadana na tych dwóch argumentach musi przyjmować wartość większą od 0. Z takim zdaniem niedługo się ponownie spotkamy, gdyż jest on jednym z aksjomatów metryki.

Jeżeli A1, A2, A3...  jest ciągiem liczb rzeczywistych.
∀ε>0 ∃N∈ℕ ∀n>N,m>N ∈ℕ  |An-Am|<ε
Odczytamy jako "dla każdego epsilon większego od 0, istnieje takie N, że dla każdych liczb naturalnych n i m większych od N, wartość bezwzględna różnicy n-tego i m-tego elementu ciągu a jest mniejsza niż epsilon."

Możemy je używać przy opisywaniu podzbiorów, np. w taki sposób:
B={f∈C(ℝ,ℝ) : ∃r∈ℝ ∀x∈ℝ |f(x)|<r } Gdzie C(ℝ,ℝ) jest zbiorem wszystkich funkcji ciągłych z ℝ do ℝ.
otrzymamy zbiór  ograniczonych funkcji ciągłych z ℝ do ℝ. Na początku może się to wydawać trochę skomplikowane, ale jest to kwestia przyzwyczajenia.

Warto zwrócić też uwagę na to, że kolejność kwantyfikatorów ma znaczenie.

Powoli zaczyna być widocznym dlaczego matematycy używają kwantyfikatorów. Są wygodne, eleganckie i po chwili przyzwyczajania się, bardzo czytelne. Na pewno bardziej, niż zwykły tekst pisany. Łatwo je zapamiętać - ∀ pochodzi od słowa "All", a ∃ od słowa "Exists".
Możecie się też spotkać z "radzieckimi" kwantyfikatorami : ⋁ i ⋀. Ten pierwszy jest tożsamy z ∃, drugi z ∀. Używa się ich dokładnie tak samo.
Ogółem warto się do nich przyzwyczajać ponieważ po pewnym czasie "wchodzą" one w człowieka. Odczytywanie ich staje się czysto odruchowe, zazwyczaj przenikają do świadomości, nie zmieniając się po drodze w słowo pisane/czytane.

W Polskiej notacji matematycznej rozpowszechniony jest jeszcze jeden kwantyfikator, mianowicie ∃! oznaczający "istnieje dokładnie jeden". Jednak nie jestem pewien, czy jest również używany w innych krajach.

W razie jakichkolwiek pytań, uwag, zauważonych przekłamać walcie śmiało.

PS. @Zena, przeceniasz mnie. Wcale nie znam dobrze matmy. Co gorsza, im więcej matmę ogarniam, tym mam większe wrażenie, że nie ogarniam jej wcale.
Poza tym, nie bój się tu pisać, przecież Cię nie wyśmieję.