Matematyka!

[Mordoklapow]

Lubisz, kochasz, nienawidzisz? Wreszcie znalazłeś miejsce w internecie, w którym możesz spokojnie przelać w wirtualny świat swoje uczucia do królowej nauk, matematyką czasem zwanej.
Może jakieś ulubione działy? Równania? Wzory? Twierdzenia? Struktury? Może potrzebujesz pomocy przy policzeniu delty równania kwadratowego lub skonstruowaniu algebry Clifforda nad rzeczywistą przestrzenią kwadratową o sygnaturze (1,3)? Może potrzebujesz podręcznika, zadanek lub jakiegoś skryptu? Chciałbyś zapisać się na jakiś wykładzik, ale nie wiesz jaki? Albo zwyczajnie napisać coś o swoim ulubionym pojęciu matematycznym - tak po prostu, od serca?

Każdy temat jest dobry, by popisać o matmie - więc śmiało!

Co więcej, na naszym kochanym forum działa system LATEX, służący do pisania wyrażeń matematycznych. Krótka instrukcja jak z niego odpowiednio korzystać znajduje się w spoilerze:

Spoiler

To co chcemy by LateX skonsumował, przetrawił i wyrzucił piszemy w ogranicznikach [ tex] [/tex] - tyle że bez spacji w tym pierwszym.
Generalnie zaraz się przekonacie, że pisanie w LaTeXu wydaje się żmudne, męczące i nieprzyjemne. Otóż, rzeczywiście na początku tak jest, jednak po jakimś czasie, gdy już przywykniecie, robi się bardzo szybkie i łatwe. A osiągnąć można naprawdę ładne efekty:

Zacznijmy może od tego, że LaTeX nie rozróżnia spacji i przejść do nowych linii. Jako spacja jest komenda \quad, jako enter \\, a żeby zmiejszyć odległość pomiędzy znakami należy wpisać \!. Odradzam jednak używanie podwójnych spacji, gdyż nasz kompilator zamienia je na literę A.
Ogółem warto zauważyć, że w przeciwieństwie do większości języków, LaTeXowi polecenia wydaje się symbolem \ zamiast /. Czemu tak jest? Podejrzewam, że przez fakt, iż / oznacza zazwyczaj dzielenie.

Teraz pomówmy o najważniejszych komendach.
Indeks górny - kojarzony często z potęgowaniem - wywołuje się znakiem ^{indeks górny}, gdzie oczywiście w miejsce napisu indeks górny wstawiamy napis który chcemy tam umieścić. Jeżeli ma to być tylko jeden znak, nawiasy (klamerkami czasami zwane) możemy pominąć.
Podobnie wywołuje się indeks dolny - znakiem _{indeks dolny}.
Pierwiastek wywołuje się przy pomocy \sqrt{} gdzie w klamerki wstawiamy to, co ma się pod nim znajdować.
Ułamek z kolei tak: \frac{licznik}{mianownik}. Jakby ktoś nie był pewien które to które (ja regularnie nie jestem) to mianownik to to na dole, a licznik to to u góry.
Znak całki wywołuje się komendą \int_{dolna granica}^{górna granica}, sumy zaś \sum_{dół}^{góra}. Jak to wygląda?

Piękne, czyż nie?

Istnieje jeszcze parę przydatnych symboli, takich jak: \cdot (mnożenie skalarne),  \times (mnożenie wektorowe) czy \pm (połączone znaki + i -)


No, i jeszcze inna bardzo ważna rzecz. W LaTeXu mamy arsenał innych alfabetów języków wymarłych, w tym tego najważniejszego - greckiego:

Duże greckie litery otrzymujemy przez rozpoczęcie komendy z dużej litery, np. \Alpha.

Oczywiście jest to tylko namiastka tego, co oferuje ten wspaniały system. Jeżeli, drogi czytelniku, czujesz potrzebę pogłębienia swojej wiedzy w tym zakresie, zapraszam do zapoznania się dziełem "Nie za krótkie wprowadzenie to systemu LaTeX", które można znaleźć bez żadnego problemu w internecie.

Tak więc, nie pozostaje mi nic innego jak tylko życzyć Ci miłego pisania cudnych wzorków, równań i całej reszty tego matematycznego bełkotu.

[Kamil-Maciej]

Chciałbym zadać dwa pytania: czy skoro wszystkie przyrządy są obarczone błędem pomiarowym, to czy będziemy w stanie kiedykolwiek dokładnie zmierzyć wielkość obiektów wokół nas?

Drugie to: kiedy matematyka rozwinęła się z podstawowych rzeczy ( "normalna" geometria, potęgowanie, pierwiastkowanie ) w obliczenia całkowe i geometrię przestrzeni nieskończenie wymiarowych? ( nie wiem nawet co to jest ).

A co do matematyki, to całkiem lubię ten przedmiot ( poza geometrią, ale ona jest wciąż lepsza niż polski ). Jest bardzo przydatny przy nauce chemii, o fizyce nie wspominając.

[Irwin]

Matematyka w szkole dużo wspólnego z prawdziwą matematyką nie ma - opiera się głównie nie na nauce zależności, prawideł i zasad, a na wkuwaniu schematów rozwiązywania zadań. Praktycznie wszystkie wzory w ten czy inny sposób wynikają z całek i nikt normalny po studiach nie będzie ich pamiętał, tylko wyznaczy je sobie w kilka-naście sekund.

A początek analizy matematycznej to... hmm, XVII-XIX wiek. Tak naprawdę całki, różniczki i tym podobne to nic odkrywczego, wystarczy spojrzeć do czego wykorzystywali je ówcześni.

[Mordoklapow]

Nie, nigdy nie będziemy mogli idealnie zmierzyć wielkości obiektów wokół nas. W sumie na takim założeniu opiera się fizyka kwantowa.

Drugie: Analizę zaczął tworzyć Newton, definiując różniczki i całki - równocześnie z Leibnitzem. Jest nawet anegdota, opowiadająca, jak oboje kłócili się, kto pierwszy te pojęcia stworzył. Orzeczono, by konflikt ten rozstrzygnęła rada naukowa, której przewodniczącym był... Newton. Śmiesznie co nie? Ogółem Newton był jednocześnie bardzo inteligenty, ale i bardzo ograniczony. Torpedował Leibnitza, który twierdził, że czas może nie być bezwzględny, przez co odkrycie szczególnej teorii względności musiało czekać aż do Einsteina. Tak samo torpedował teorię mówiące na falowej teorii światła, przez co optyka miała po nim ok. 100 - letni zastój.

Po stworzeniu rachunku różniczkowego, wszystko się jakoś potoczyło. Kantor, Lagrange, Cauchy, Gauss, Riemman, Weierstrass, Taylor, Maclaurin, Stone, Lebesgue, Lie, Banach, Hilbert... Wielkich matematyków było bardzo dużo, dalsze odkrycia były raczej ewolucją. Bez wybuchów i fajerwerków. Chociaż ciekawe momenty się zdarzały.

@Irwin
Cóż, niektórzy twierdzą, że prawdziwa matematyka zaczyna się na całce Labesque. Znaleźliby się pewnie tacy, którzy uważają, że prawdziwa matematyka zaczyna się na iloczynach tensorowych alef-0 wymiarowych C*-algebr.
Chociaż prawdą jest, że Ciebie, MaciejKamil, jeszcze sporo czeka. Powiedziałbym że wręcz najlepsze przed Tobą. Ach, jeszcze paniętam to uczucie, gdy otwierałem mój pierwszy podręcznik analizy, jeszcze w liceum. Nawet nie ma odpowiedniej emotikony, by to opisać...
Jeszcze mam ten podręcznik. To co tam jest wydaje mi się być śmiesznie prymitywne i banalne (całki nie na przestrzeniach Banacha!) ale sentyment nie pozwoli mi go wyrzucić. W razie czego, będzie dla moich dzieci.

[Mianownik]

Jeśli chodzi o wzory, to kiedyś w gimnazjum zapytałem się, skąd we wzorze na objętość ostrosłupa ta "jedna trzecia". Otrzymałem dość zrozumiałą odpowiedź, że to jest dla nas za trudne.

[Warmen]

Nam to objaśniali na podstawie walca o tej samej podstawie i wysokości co stożek. Że sypiesz ryż stożkiem do walca i 3 stożki wchodzą do środka.

[Mianownik]

Nam to objaśniali na podstawie walca o tej samej podstawie i wysokości co stożek. Że sypiesz ryż stożkiem do walca i 3 stożki wchodzą do środka.

U nas wzięła jakiś sześcianik i ostrosłup o takiej samej podstawie i wysokości. Dwóch poleciało z nimi do łazienki. Co jakiś czas jeden przylatywał i pokazywał sześcian napełniany po jednym razie ostrosłupem - najpierw do jednej trzeciej, potem do dwóch trzecich, a potem do pełna.
Powiedziałem, że mnie to nie przekonuje. Zgodziła się ze mną, że to kiepskie uzasadnienie wzoru.

[Mordoklapow]

Ja bym inaczej niż całką chyba nie umiał tego udowodnić. Muszę się zastanowić.

[ChrisEggII]

Chciałbym zadać dwa pytania: czy skoro wszystkie przyrządy są obarczone błędem pomiarowym, to czy będziemy w stanie kiedykolwiek dokładnie zmierzyć wielkość obiektów wokół nas?

Właśnie dotarłeś do (prawie) całego sensu istnienia metrologii jako nauki. Jeżeli już się zdecydujesz na studia techniczne, to z pewnością trafi ci się ona jako przedmiot. Tak jak Mordoklapow powiedział, wymiaru rzeczywistego nie da się zmierzyć z idealną dokładnością. Dlatego na wykładach będziesz wkuwał rodzaje błędów pomiarów, a na laborkach będziesz mierzył różne przedmioty rozmaitymi narzędziami, aby przez kilkukrotnie dłuższy czas liczyć niepewności pomiaru. W skrajnych sytuacjach obliczenie jednej niepewności może zająć kartkę A4.

Matematykę natomiast lubię. Właściwie od zawsze szło mi w niej dobrze. Chociaż pamiętam, że na studiach niejednokrotnie dostarczała mi ona koszmarów. Kompletnie nie szła mi nauka całek dwuwymiarowych i krzywoliniowych. A wygląda na to, że będę musiał powoli tę wiedzę powtarzać we własnym zakresie, jeżeli chociaż marzę o studiach drugiego stopnia.

[Irwin]

Prawdziwy fün z matematyki pojawia się, kiedy ogarnia się już równania różniczkowe i można przejść do tworzenia systemów dynamicznych.
Będę się tego uczył, to może coś o tym powiem z "praktycznej" strony.

[Kamil-Maciej]

Nie żeby coś, ale z mojej perspektywy informacja o tym, że całki mają tak gigantyczne znaczenie zabrzmiała tak, jakby nagle się okazało, że z doktryny jednej organizacji da się wyprowadzić wszystko to, co wydarzyło się w historii. Ale skoro tylu ludzi potwierdza istnienie całek, a ja nie mam dowodu na ich nie istnienie, to mogę chyba założyć, iż ich istnienie jest prawdą.

Czy te same całki tłumaczą, dlaczego nie można dzielić przez zero? Dlaczego nie da się tego zrobić? Czemu zero podniesione do zerowej potęgi nie istnieje ( pani nazwała to "obiektem nieoznaczonym" ) ?

[Mordoklapow]

Z całek? Niekoniecznie.

Wszystko raczej wynika z pojęcia przejścia granicznego. Kurczę, prawie cała matma jaką kojarzę, z tego pochodzi. Analiza (w tym funkcjonalna czy zespolona), geometria różniczkowa, topologia. Nawet w algebrze można znaleźć czasem jakąś drobną granicę schowaną w kącie.

Poza tym, to też chyba trochę kwestia mentalności. Ludzie powoli wychodzili z mroków średniowiecza i zaczynali odświeżać mózgi, raczej mało używane od czasów Arystotelesa.

PS ostatnio dowiedziałem się co to jest to legendarne dx z punktu widzenia matematyki. Jak się okazuje, jest to element przestrzeni sprzężonej do przestrzeni stycznej do rozmaitości w jakimś punkcie. hue. Matematycy jednak lubią sobie życie pokomplikować.